[SPE Math] Divisibilité , nombres premiers

Divisibilité , nombres premiers

(j'ai essayé de réécrire le cours le plus simplement possible ,en mettant en évidence ce qu'on doit rajouter dans les trous )
I - Divisibilité dans Z :

Après la définition ,notez comme exemple :

• -21 est un multiple de -7 car -21=3*(-7).
  
• L'ensemble des multiples de 3 est {3k , k appartient à Z }.
  
• L'ensemble des diviseurs de 6 est {-6 ; -3 ; -2 ;-1;1;2;3;6}

Remarques :

• 0 est un multiple de tout entier relatif b (car 0=b*0).
  
• Tout entier a admet des diviseurs parmi lesquels 1,a,-1,-a.

Propriétés :

a) En effet ,si b/a alors a = kb avec k inclus dans Z et a= (-k) * (-b) donc -b/a .
b)En effet,a = lb avec k inclus dans Z* ( RAPPEL : Z* signifie l'ensemble Z ,PRIVE DE ZÉRO ) ,alors |a| = |kb| = |k| * |b| avec |k|>= 1 car |k|*|b| >= |b| donc |a| >= |b| .
c) Si a divise b et b divise a , alors a=b ou a = -b .
En effet, si a/b alors |b| >=|a| et si b/a alors |a| >=|b| donc |a|=|b| donc a = b ou a =-b .
d)Si a divise b et b divise c ,alors a divise c .
En effet, b=ka , k appartient à Z et c =k' b , k' appartient à Z donc c = k' * ka donc a/c .
e) (Il y a un signe /!\ donc je suppose que ce point est important !!)
En effet ,b=ka, k appartient Z et c = k' a , k' appartient à Z alors άb + βc =άka + βk'a = a(άk+βk') donc a/άb+βc .
f) En effet si b=ka , k appartient à Z alors bc= kac donc ac/bc .

II- Les nombres premiers

Exemple :

• 2;3;23 sont premiers
  
• 10 n'est pas premier car 10=2*5 .

Remarque :

• Par convention, 1 n'est pas premier .
  
• 2 est le plus petit nombre premier et le seul pair .

Théorème 1: (ici ,il faut tout écrire) Tout entier a strictement supérieur à 1 admet un diviseur premier .

Démonstration :

• Si a est premier , il a admet comme diviseur lui-même , donc un diviseur premier .
  
• Si a n'est pas premier , il admet des diviseurs autres que 1 et a .
  Soit p le plus petit de ces diviseurs , 1<p<a et a=p*k , montrons que p est premier en raisonnant par l'absurde .
  Si p n'est pas premier , p admet un diviseur p' tel que 1<p'<1 alors p=p'k' donc a = pk= p' k' k .
  Donc p' est diviseur de a strictement inférieur à p ,ce qui est impossible car p est le plus petit diviseur de a (autre que 1 et a)
  
  => Donc p est premier .

Théorème 2: Il existe une infinité de nombre premiers
Démonstration:
Soit p un nombre premier . Montrons qu'il existe un nombre premier plus grand que p .
On considère le nombre N = 2*3*5*...*p+1 .

• Si N est premier , N est nombre premier supérieur à p .
  
• Si N n'est pas premier , d'après le premier théorème , N admet un diviseur premier p' .
  Or N n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à p donc p' > p .
  
  => Donc p' est un nombre premier plus grand que p .

[Pour toute question correspondant à un problème de lecture ,de logique concernant le cours , merci de poster à la suite de ce message .Pour toute question correspondant à un problème de compréhension , merci de poster dans la section "Matières">"Spécialités">"Math" .]

J'espère que vous arriverez à rattraper le cours avec ça .A demain !